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Mathématique m1377

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Une des utilités du nuage de points est de pouvoir estimer les résultats à venir. Afin de quantifier la justesse de cette estimation, on calcule le coefficient de corrélation linéaire.

​Le coefficient de corrélation linéaire​, généralement notée r, quantifie la force du lien linéaire entre les deux caractères d’une distribution.

​Selon sa définition, le coefficient de corrélation aura toujours une valeur qui se situe dans l'intervalle [-1, 1]. Pour le déterminer, on peut procéder par estimation de son allure graphique ou en utilisant une formule mathématique.


Liens entre le nuage de points et son coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire d'une distribution peut donner une idée de l'allure qu'a le nuage de points et inversement. D'abord, le signe du coefficient, positif ou négatif, indique le sens de la pente de la droite de régression. Pour bien comprendre le coefficient de corrélation, voici trois nuages de points qui illustrent bien ses valeurs extrêmes, soient -1, 0 et 1.

Corrélation linéaire parfaite, négative (r = -1)


Corrélation nulle (r = 0)



Corrélation linéaire parfaite, positive (r = 1)

En d'autres mots, plus la valeur du coefficient de corrélation linéaire est près de 1 ou -1, plus le lien linéaire entre les deux variables est fort.

À l'inverse, plus sa valeur est près de 0, plus le lien linéaire entre les deux variables est faible.

Pour calculer les valeurs de r, on peut procéder en utilisant un graphique ou de l'arithmétique. Par contre, si on veut seulement les comparer, on peut simplement jeter un coup d'oeil aux nuages de points et à l'alignement des points de ces derniers.

Corrélation linéaire forte positive


Corrélation linéaire moyenne positive

En les regardant attentivement, on voit que les points sont plus dispersés dans le deuxième nuage. Ainsi, on peut affirmer que le coefficient de corrélation linéaire est plus faible dans ce nuage que dans le premier.

Afin de bien voir la différence entre chacun des qualificatifs de corrélation, voici des nuages de points qui les représentent:

Corrélation linéaire négative

Corrélation linéaire positive

​​Selon le qualificatif, on voit que le nuage est de plus en plus dispersé. Par contre, il est toujours possible de noter le sens du nuage (positif ou négatif). Aussitôt que les points sont tellement dispersés qu'il devient impossible d'estimer le sens, c'est probablement parce que le coefficient de corélation linéaire est nul.

Calcul du coefficient de corrélation linéaire

​En déterminant de façon plus précise la valeur du coefficient de corrélation linéaire, on peut plus facilement qualifier la corrélation entre deux variables.

r=±(1lL)

avec L= mesure de la longueur et l= mesure de la largeur du rectangle regroupant le nuage de points.

Pour ce qui est du signe de r, il sera déterminé selon le sens du nuage de points.

Généralement, les valeurs suivantes seront utiliées pour qualifier la corrélation linéaire:

​Valeur de r Force du lien linéaire
Près de 0 Nulle
Près de ±0,50 Faible
Près de ±0,75 Moyenne
Près de ±0,87 Forte
Près de ±1 Très forte
Brun Marmotta Femmes Enval De Douces 5 Les Escarpins De ±1 Parfaite

​Graphiquement

Afin d'associer une valeur numérique au coefficient de corrélation, on doit procéder selon les étapes suivantes.

​Selon une enquête, on a amassé les données suivantes:
Marmotta De 5 Enval Femmes Douces Brun Escarpins Les De

Selon ces données, détermine la valeur du coefficient de corrélation linéaire.

1) Tracer le nuage de points.
En plaçant chacun des couples dans un plan cartésien, on obtient le nuage de points suivans:


2)Tracer un rectangle et mesurer sa longueur et sa largeur.
Puisqu'il n'y a aucune donnée aberrante ou éloignée, on obtient le rectangle suivant:

En le traçant, il faut faire en sorte que ce rectangle soit le plus petit possible. Pour ce qui est des mesures, il s'agit tout simplement de prendre une règle graduée et de mesurer les segments.

3) Calcul du coefficient de corrélation selon la formule
r=±(13,66,9)
r±0,48
r0,48, car on voit que le nuage de points est de sens positif.

​De façon générale, cette démarche permettra de trouver une valeur assez représentative du coefficient de corrélation linéaire. Par contre, il existe des outils plus perfectionnés qui calculent intégralement cette valeur.

Algébriquement

Avec des ​calculatrices à affichage graphique ou des logiciels, on peut les utiliser pour faire tous ces calculs. Par curiosité, on peut démontrer la formule qui est cachée derrière le codage de ces outils technologiques.

La formule permettant de calculer le coefficient de corrélation linéaire r est la suivante :
r=(x¯x)(y¯y)(x¯x)2(y¯y)2



x: représente une valeur de la première distribution
¯x: représente la moyenne de la première distribution
y: représente une valeur de la deuxième distribution
¯y: représente la moyenne de la deuxième distribution
: la somme de ...

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